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《走进数学·初中生读本》

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发表于 2013-11-19 14:42:20 | 显示全部楼层 |阅读模式
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内容简介: 这是一本紧扣现行教材却又与之有所不同的初中生课外读物。她与其姊妹篇《走进数学·小学高年级读本》具有相同的宗旨——提高学习兴趣,培养数学思维,提高解题能力。
作者自荐: 说什么好呢?说优点,定当有王婆卖瓜之嫌;说不足,自己尚未发现;不过我可以负责任地说 ,这是写给俺自己的孩子看的。
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本帖最后由 国史通览 于 2019-7-16 16:25 编辑

2  如何添加辅助线
不管是与几何图形有关的证明题还是计算题,需要借助自行添加的辅助线段才能解决的题目实在是太多了。不过,对于初学几何的同学们来说,要想实现快速准确地针对题目已知条件添加上辅助线段也不是一件简单的事情,因此本讲我们将有针对性地多选择了几道例题与习题。
1
如图1所示,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD是一条中线。
求证:BD= AC
           
分析:
从题目已知条件来看,欲证BD= AC,似乎只要证明BD=AD或BD=CD就可以了。可是不管是要证BD=AD,还是要证BD=CD,显然也就等边对等角这样一条思路。不过,由于题目并没有关于角的已知条件,所以这条思路根本行不通。这也就提醒我们可能要添加辅助线了。那么该如何添加辅助线呢?考虑到欲证BD= AC,只要能够证明2BD=AC就可以了,所以我们容易想到在图中作出2倍的BD。为了尽可能将与问题有关的几条线段联系在一起,我们在作2倍的BD的时候很自然应该延长BD至E,而不是延长DB(如图2所示)。在得到E点之后,很明显只要证明四边形ABCE是矩形就可以了。因此我们还应该连接AE和CE。于是,
证明:延长BD至E,使DE=BD,连接AE,CE。
∵BD=DE,AD=DC
∴四边形ABCE是平行四边形。
又∵∠ABC=90°
∴四边形ABCE是矩形。
∴BE=AC
∴BD= AC   
2
如图1所示,△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=8cm。
求:以AC为边的正方形的面积。   
分析:
要求以AC为边的正方形的面积,就得知道AC的具体长度。可是,就现有的条件,要求出AC的长还真就不容易办到(中学低年级同学尚且不能使用在直角三角形中30°角所对直角边长度等于斜边的一半这一定理),因为要求一条线段的长度,往往需要运用勾股定理,而在使用勾股定理的时候,我们还得知道了一个三角形的两条边才可能求出其第三条边。由此看来,这道题目也需要添加辅助线了。考虑到∠B=60°,而60°恰好又是等边三角形一个内角的度数,并且一旦以AB为边构建一个等边三角形的话,便会得到三条长度为8cm的线段,这对解决问题当然会有所帮助。于是,
证明:延长BC至D,使CD=BC,连接AD(如图2)。(作辅助线通常的方法也就连接已知的两个点延长线段过一点作已知直线的平行线过一点作已知直线的垂线作线段使其长为定值作角使其度数为定值作角平分线等;不过在作辅助线时,应特别注意步骤的可操作性。就拿本题而言,显然我们在作过辅助线后还得再证明∠D=∠B,那么我们是不是可以延长BC到D,使CD=BC,然后再作∠BDA,使∠BDA=∠B呢?答案当然是否定的。)
在△ABC和△ADC中,
∴△ABC≌△ADC
∴∠D=∠B=60°
BC=DC
又∵∠B+∠D+∠BAD=180°
∴∠BAD=60°
∴△ABD为等边三角形。
即,BD=8
∴BC=8÷2=4
∴S正方形=AC2=AB2-BC2=82-42=64-16=48(cm2)
3
如图1所示,△ABC中,AB=2BC,∠B=2∠A。
求证:∠C=90°
分析:
欲求证∠C=90°,我们容易想到勾股定理的逆定理,可由于题中没有与边长相关的已知条件,所以这一思路显然行不通。或许有人还会想到寻找一个与△ABC全等的直角三角形,不过图中只有一个三角形,全等自然无从谈起。至此,添加辅助线似乎也就成了我们的必由之路。那么该如何添加辅助线呢?
考虑到题中AB=2BC这一已知条件,我们容易想到作出AB的中点D。同样的道理,考虑到∠B=2∠A这一已知条件,我们还可以作出∠B的角平分线BE。为了让D点充分发挥作用,我们很自然便会想到再连接DE。于是,
证明:
作AB的中点D,作∠B的角平分线使之交AC于E,连接DE(如图2)。
∵∠A=∠ABE
∴AE=BE
∵在△ADE和△BDE中,
∴△ADE≌△BDE
∴∠ADE=∠BDE
又∵∠ADB=180°
∴∠BDE=90°
在△BCE和△BDE中,
∴△BCE≌△BDE
∴∠C=∠BDE
即,∠C=90°
例4
如图1所示,△ABC中,AB>AC,P是△ABC角平分线AD上任意一点。
求证: AB-AC>PB-PC
   
分析:
要证明两条线段的差大于另外两条线段的差确实不是个常见的问题,也容易令我们感到无从下手。对于这类看似没有头绪的问题,我们可不可以先来作出(AB-AC)呢?答案当然是肯定的——在线段AB上截取AE,使AE=AC;显然BE=AB-AC。至此,我们已经得到线段AB与AC的差——BE,可它会大于PB与PC的差吗?要知道,BE、PB、PC可是风马牛不相及的三条线段。不过,稍有一点数学灵感你便会想到连接起PE。如果能够证得PE=PC,问题不就迎刃而解了吗?于是,
证明:
    在AB上截取AE,使AE=AC,连接PE(如图2)。
在△APE和△APC中,
∴△APE≌△APC
∴PE=PC
在△BPE中,
∵BE>PB-PE
∴AB-AC>PB-PC
例5
某梯形上下两底长分别为2cm和8cm,其两条对角线长分别为6cm和8cm,求该梯形的面积。
分析:
要求该梯形的面积,显然还需要知道它的高。虽然这个梯形的形状并不固定,但为了研究的方便我们还是会作出其大致的图形(如图1所示,BC=2,AD=8,AC=6,BD=8)。即便有了这个图的帮助,恐怕反复尝试你也不会得出什么结果。这也就提醒我们可能需要添加辅助线了。那么,应该怎样添加辅助线呢?因为我们是在求该梯形的面积,所以比较容易想到梯形面积公式的推导过程——将两个全等的梯形拼成一个平行四边形,然后再用这个平行四边形的面积除以2。于是,我们便可以如图2所示作出几条辅助图线。平行四边形ABEF的面积还是很好求的。其实,如果对于常用的勾股数记得比较准,从2,8,6,8这几个数字,你也许会发现其中蕴含的“玄机”——为什么已知条件给出的几个数字恰好能形成一组勾股数呢【(2+8)2=62+82】?看来我们是应该将2和8也就是梯形的两底放到一起。      
解:按图2所示,作出辅助线,使梯形EFDC与梯形ABCD全等。
∵AC2+CF2=62+82=(2+8)2=AF2
∴△ACF是直角三角形。
∴△ACF中AF边上的高为6×8÷10=4.8(cm)
又∵梯形ABCD与△ACF的AF边上的高相等
∴S梯形ABCD=(2+8)×4.8÷2=24(cm2)
答:该梯形的面积为24cm2。
练习
1、 如图,在梯形ABCD 中,AD∥BC,DF⊥AD,并交BC于点F。若线段DF上存在一点E,使得∠CBE=∠CDE,且∠BCE=45°.请猜想线段BE与线段CD的数量关系和位置关系,并说明理由。
                                    
2、已知:正方形ABCD中O为其对称中心,M为AB边上任意一点。连结OM,作ON⊥OM,并交BC于N。
求证:OM=ON
3、如图,△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,D是BC的中点,P、Q分别是边AB、AC上的动点,且满足BP=AQ。求证:△PDQ是等腰直角三角形。
           
4、△ABC中,BD=10cm,∠B=90°,AB=BC,AD是∠BAC的平分线。求CD的长。
5、如图,等腰三角形△ABC中,DE⊥AB,DF⊥AC,CM⊥AB,D是底边BC上任意一点。DE、DF、CM三者之间存在怎样的大小关系?试加以说明。
6、如图,△ABC的两个外角∠BCE和∠CBD的平分线交于点F。
求证:点F在∠DAE的平分线上。
7、如图,在边长为5的正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD边上的点,且BE=2,AE⊥EF,延长EF交正方形∠BCD的外角平分线CP于点P,试判断AE与EP的大小关系并说明理由。
8、如图,已知AB是半圆的直径,∠C的两边分别与半圆相切于A、D两点,DE⊥AB,垂足为E,AE=3,BE=1。求图中阴影部分的面积。
                  
9、直线MN经过正方形ABCD的一个顶点C,且AE⊥MN于E,BF⊥MN于F,DG⊥MN于G。
    当MN处在如图1所示位置时,求证DG=AE+BF
    当MN处在如图2所示位置时,DG、AE、BF存在怎样的大小关系?试证明你的结论。
附:答案
1、猜想:BE=CD且BE⊥CD
延长BE,并交CD于G。
∵∠DFC=90°,∠ECB=45°
∴∠CEF=∠ECF=45°
∴EF=CF
在△BEF和△DCF中,
∴△BEF≌△DCF
∴BE=CD
∵∠BCD+∠CDF=90°
    ∠CDF=∠CBG
  ∴∠CBG+∠BCG=90°
    ∠BGC=90°
即,BE⊥CD
2、 证明:分别连结OA和OB,由题意可知∠AOB=90°,OA=OB,∠OAM=∠OBN
【对于此类证明起来步骤繁琐却又一看便知的条件,解答时可以直接给出】
∵∠AOM+∠MOB=90°
  ∠MOB+∠BON=90°
∴∠AOM=∠BON
在△OAM和△OBN中,
∴△OAM≌△OBN
∴OA=OB
3、连结AD
∵D是BC的中点
∴AD⊥BC
  ∠CAD= ∠BAC=45°
又∵∠C=45°
∴∠CAD=∠C
∴AD=BD=CD
在△BPD和△AQD中,
∴△BPD≌△AQD
∴PD=QD,∠BDP=∠ADQ
又∵∠BDQ+∠ADP=90°
∴∠ADQ+∠ADP=90°
即,AD⊥BD
∴△PDQ是等腰直角三角形。
4、过D点作DE⊥AC,并交AC于E点
在△ABD和△AED中,
∴△ABD≌△AED
∴DE=BD=10
∵AB=AC,∠B=90°
∴∠C=∠BAC=45°
在△DCE中,∠C=45°∠DEC=90°
∴∠C=∠CDE
∴CE=DE=10
由勾股定理得,
CD= = = =
5、DE+DF=CM
证明法一:过D作DN⊥CM,并交CM于N(图1)
∵DE⊥AB,CM⊥AB
∴DE∥CM
同理可得,EM∥DN
∴四边形MNDE是平行四边形
∴MN=DE
∵EM∥DN
∴∠B=∠CDN
∵AB=AC
∴∠B=∠ACB
∴∠CDN=∠ACB
即,∠CDN=∠DCF
在△CDN和△DCF中,
∴△CDN≌△DCF
∴CN=DF
又∵CM=MN+CN
∴DE+DF=CM
法二:
连结AD(图2)
S△ABD= AB·DE
S△ACD= AC·DF= AB·DF
S△ABC= AB·CM
∵S△ABD+S△ACD=S△ABC
AB·DE+ AB·DF= AB·CM
  AB·(DE+DF)= AB·CM
即,DE+DF=CM
6、证明:作FD⊥AD,并交AD于D;作FE⊥AE,并交AE于E;作FG⊥BC,并交BC于G。
在△BDF和△BGF中,
∴△BDF≌△BGF
∴DF=GF
同理可得,△CFE≌△CFG
∴EF=GF
∴DF=EF
即点F在∠DAE的角平分线上。
7、AE=EP
在AB上作线段BM,使BM=BE,连结ME
∵BM=BE
∴∠MBE=45°∠AME=135°
∵CP是∠BCD的外角平分线
∴∠DCP=45°∠ECP=135°
∵∠BAE+∠AEB=90°∠CEP+∠AEB=90°
∴∠BAE=∠CEP
即∠MAE=∠PEC
在△AME和△ECP中,
   
∴△AME≌△ECP
∴AE=EP
8、连结OD,过点D作DF⊥AC
OD= (AE+BE)= (3+1)=2
OE=OB-BE=2-1=1
在Rt△ODE中,由勾股定理得,
DE= =
∵OE=1= OD
∴∠ODE=30°
又∵∠C+∠ODE+∠ODC=180°
∴∠C=60°
在Rt△CDF中,设CF= ,由勾股定理得,
    2+32=2 2
解得, =
于是,
S梯形ACDE= =
S△ODE= =
S扇形OAD= =
S阴影= - - =
9、
如图2所示,本题也可以作EH∥AD并交DG于H。证明从略。
①作AH⊥DG,并交DG于H(图1)。
∵∠DAH+∠ADH=90°
  ∠ADH+∠CDG=90°
∴∠DAH=∠CDG
同理,∠BCF=∠CDG
∴∠DAH=∠BCF
在△ADH和△CBF中,
∴△ADH≌△CBF
∴DH=BF
∵AE⊥MN,DG⊥MN
∴AE∥DG
∴AE∥GH
同理,AH∥EG
∴四边形AEGH是平行四边形
∴AE=GH
∵DG=DH+HG
∴DG=AE+BF
② AE=DG+BF
证明:过D点作DH⊥AE,并交AE于H,连结FH(图3)。
∵∠BCF+∠DCG=90°
  ∠CDG+∠DCG=90°
∴∠BCF=∠CDG
∵∠CDG+∠CDH=90°
∴∠ADH+∠CDH=90°
∴∠CDG=∠ADH
∴∠BCF=∠ADH
∴在△BCF和△ADH中
∵△BCF≌△ADH
∴AH=BF
又∵DG=HE
∴AE=DG+BF
发表于 2013-11-19 14:42:20 | 显示全部楼层
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 楼主| 发表于 2013-11-19 14:44:23 | 显示全部楼层
3  一题多解体会代数思维与几何思维的异同
    例1
    如图1所示,△ABC中,AB=24,AC=25,BC=7P是△ABC内一点,
P到各边的距离相等。
    P到各边的距离。               
代数思路:
要求P到各边的距离,如果我们考虑到代数思路,当然可以设它是 。不过,这样一个距离对于我们列方程会有什么帮助呢?为了使问题变得更加直观,我们自然会想到作出这个高(如图2所示,即PD、PE、PF)。而在作出这三条高之后,我们容易联想到,PD就是△APB的高,PE就是△BPC的高,PF就是△CPA的高;并且△ABC恰好被分成了△APB、△BPC和△CPA。由于AB、BC、CA的长度已知,所以△APB、△BPC和△CPA的面积都容易用含未知数 的式子表示。如此以来,我们只要将△ABC的面积求出来,或是将它用含有未知数 表示出来就可以。这显然是能够办到的。于是,
解:设P到各边的距离为
∵AB2=242=576,BC2=72=49,AC2=252=625。
即,AB2+BC2=AC2
∴△ABC是直角三角形。
根据题意,得, ×24 ×7 ×25 = ×7×24
解得, =3
答:P到各边的距离为3。
几何思路:
要求P到各边的距离,如果我们考虑到几何思路,当然也会作出如图2所示的各条辅助线。利用三角形全等有关知识,我们易于证明△APD≌△APF,△BPD≌△BPE,△CPE≌△CPF,在此基础上我们也易于证明AD=AF,CE=CF,BD=BE。至此,我们不禁会产生这样的疑问,AD=AF,为什么AB比AC却小1呢?显然这是因为BD比CF小1而造成的。BD比CF小1,BE也就比CE小1。在线段BC上,总长度已知,各部分大小关系又已经明确,BE的长度也就不难求了。可能你会问,我们求出BE有什么用呢?其实,这是因为我们从图中容易得出一个猜想,那就是BEPD是一个正方形(由此可见,尽可能规范地画出图形,并由此得出合理猜想,是一种很重要的能力)。当然了,只是有猜想还是不够的,还必须予以证明才行。这一证明过程参见下面的解答过程。
解:在Rt△APD和Rt△APF中,
∴Rt△APD≌Rt△APF
AD=AF
同理可得,
Rt△BPD≌Rt△BPE
Rt△CPE≌Rt△CPF
且,
BD=BE
CE=CF
∵AB=24,AC=25
∴CF-BD=1
即,CE-BE=1
又∵BC=7
∴BE=(7-1)÷2=3
在三角形ABC中,
∵AB2=242=576,BC2=72=49,AC2=252=625。
即,AB2+BC2=AC2
∴△ABC是直角三角形。
即,∠ABC=90°
在四边形BEPD中,
∵∠BDP=90°, ∠ABC=90°
∴BE∥DP
同理,BD∥EP
∴BEPD是平行四边形。
又∵PD=PE,且∠ABC=90°
∴BEPD是正方形。
即,PD=BE=3
答:P到各边的距离为3。
    2
    如图,等腰梯形ABCD中, AD=2 cm,BC=4 cm,AC⊥BD。
求梯形ABCD的高DE的长。
    代数思路:
考虑到在设DE为未知数 后,利用梯形面积公式,等腰梯形ABCD的面积易于用含有 的代数式表示;所以我们只要能用其它方法再把等腰梯形ABCD的面积表示出来就可以了。显然,等腰梯形ABCD又可以分成△ABD和△CBD(需要说明的是,在表示△ABD和△CBD的面积时,一定不能采用AD、BC作底DE作高这种方式,因为这也是我们利用梯形面积公式表示ABCD面积的本质所在。另,当然也可以将梯形分成△ABC和△ADC),而它们的面积又分别可以表示为S△ABD= AO·BD, S△CBD= CO·BD,即S△ABD+S△CBD= AO·BD+ CO·BD= (AO+CO)·BD= AC·BD。又因为等腰梯形对角线相等,所以S△ABD+S△CBD= BD2。至此,问题也就转化为用未知数 表示BD2了。在Rt△BED中,DE= ,我们也不难证明BE=DE= (参见下面的解答),于是,
解:设DE的长为
    在△ABC和△DCB中,
        
∴△ABC≌△DCB
∴∠ACB=∠DBC
即,∠OBC=∠OCB
又∵∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°,∠BOC=90°
∴∠OBC=45°
在△BDE中,∠DBE=∠OBC=45°,∠DEB=90°
∴∠BDE=45°
∴BE=DE=
∴S梯形ABCD= S△ABD+S△CBD
= AO·BD+ CO·BD= (AO+CO)·BD = AC·BD= BD2= ( 2+ 2)= 2
根据题意得, (2+4) = 2
解得, =3  ( =0因不合题意舍去)
答:梯形ABCD的高DE的长为3。
几何思路:
显然,DE是Rt△BDE的一条直角边,而在直角三角形中,要求某条直角边的长度,似乎也只有使用勾股定理这样一种办法。要用勾股定理,我们易于证明BE=DE(参见前解),因此只需要求得BD就可以了。由于BD又可以分为BO和OD,所以我们只要求得BO和OD问题也就解决了。在Rt△AOD中,AD的长度已知,OA=OD,所以OD= = 。同理,OB= = 。即,BD= + 。于是,
解:在△ABD和△DCA中,
   
∴△ABD≌△DCA
又∵∠AOD=90°
∴∠ADB=∠DAC=45°
即,∠ADO=∠OAD=45°
∴OA=OD
在Rt△AOD中,AD=2
∴OD=
同理,
∠OBC=∠OCB=45°
∴OB=OC
在Rt△BOC中,BC=8
∴OB= =
即,BD= +
在Rt△BDE中,
∠DBE=∠OBC=45°,∠BED=90°
∴∠DBE=∠BDE=45°
即,BE=DE
∴DE= = =3
答:梯形ABCD的高DE的长为3。
显而易见,上面题目的解答往往是既有代数思维(我们姑且把以设定未知数并且列出方程为主要特征的解答思路称之为代数思维),又有几何思维(我们姑且把通过对几何图形特点的分析为主要特征的解答思路称之为几何思维);只不过是谁为主导的问题。看来,我们在解答数学题目时,硬性地把代数思维与几何思维分离开来是不可取的,也是不可能的,而这一讲我们只是希望通过两道题目来让大家充分领略一下代数思维与几何思维的异同,并且希望大家在解决问题时能够灵活地加以运用。因其如此,下面的例3我们将给出多种解法,并且也不再分什么代数思维和几何思维。
    3
    如图1所示,CEDF是一个正方形,AD=3cm,DB=4cm。求阴影部分的面积。
         
               
        
法一:
考虑到两个阴影三角形是分开的,而要求它们各自的面积也不方便(既不知底,也不知高),因此我们容易想到添加辅助线。通常作辅助线的方法无非连接两点、延长线段、过定点作已知直线的垂线、过定点作已知直线的平行线等。因其如此,稍有一点数学直觉,便会想到过D点作AB的垂线(如图2所示)。如此以来,我们很容易证明△DGF≌△DAE。这样,我们只需要求出△BDG的面积便可以了。
解:过D点作AB的垂线段DG,使DG交BC于G(如图2所示)。
    ∵∠ADE+∠EDF+∠FDB=180°
∴∠ADE+∠FDB=90°
又∵∠GDF+∠FDB=90°
    ∴∠ADE=∠GDF
    在△ADE和△GDF中,
      
     ∴△ADE≌△GDF
      AD=GD
S△ADE+△BDF=S△BDG
即,S阴影= AD×DB= ×3×4=6(cm2)
法二:
同法一类似,我们当然也可以过D点作AB的垂线段DH,并且使DH交AC延长线于H(如图3所示)。
解:略。
法三:
同样是要通过作辅助线将两个阴影三角形合到一起,考虑到DE=DF,∠DEA=∠DFC,我们也容易想到以D为旋转中心,将△ADE旋转至△GDF处(如图4所示)。
解:
由旋转的性质知,
∠ADE=∠GDF
AD=DG
又∵∠ADE+∠EDF+∠FDB=180°
∴∠ADE+∠FDB=90°
即,∠BDG=90°
∴S阴影= S△BDG= DG×DB= AD×DB= ×3×4=6(cm2)
法四:
类似于法三,我们也容易想到以D为旋转中心,将△DBF旋转至△DHE处(如图5所示)。
解:略。
法五:
或许有同学会问,难道这道题目必须作辅助线吗?其实并不是这样。考虑到∠ACB=90°,我们也容易想到通过勾股定理来求两个直角三角形的直角边的长度,并由此求出它们的面积。因为正方形CEDF的边长既是△ADE的一条边长又是△BDF的一条边长,所以我们可以设该边长为
解:设,正方形CEDF的边长为
    在Rt△ADE中,根据勾股定理,得
    AE=  
在Rt△BDF中,根据勾股定理,得
BF=
在Rt△ABC中,
AC=AE+EC= +     BC=CF+BF= +
根据勾股定理,得
+ 2+ + 2=(3+4)2
整理,得 + )=12
       ∵S阴影= S△ADE +S△DBF= + = ( + )
∴S阴影= ×12=6(cm2)
法六:
上面我们是通过对多个直角三角形应用勾股定理才得出了它们各自每条边的长度,那么有没有一种方法通过对一个直角三角形应用勾股定理而得出该三角形各边长度的办法呢?答案是肯定的——有。因为我们知道对于某一个直角三角形而言,在已知某一条边的长度的情况下,如果再能知道其余两边的长度的比,要求其各边的长度还是容易做到的。怎么才能知道它们的比呢?想到比,我们自然会联想到与三角形相似有关的知识。
解:∵DE∥BC
∴∠ADE=∠DBF
∵DF∥AC
∴∠DAE=∠BDF
∴△ADE∽△DBF
即,
设,AE=3 ,DE=4 ,在Rt△ADE中由勾股定理,得
(3 )2+(4 )2=32
解得, =
∴AE=   DE=
S△ADE= × × =
同理,S△DBF =
∴S阴影= + =6(cm2)
 楼主| 发表于 2013-11-19 14:47:38 | 显示全部楼层
欢迎各位多提宝贵意见。
 楼主| 发表于 2013-11-19 14:47:56 | 显示全部楼层
发表于 2013-11-19 22:18:14 | 显示全部楼层
仁兄真是文理兼修、博学多能啊!
 楼主| 发表于 2013-11-20 08:27:53 | 显示全部楼层
where,where
 楼主| 发表于 2013-11-20 08:28:50 | 显示全部楼层
 楼主| 发表于 2013-11-21 12:30:17 | 显示全部楼层
1  如何找规律
近年找规律题目已成为各类考试的一个重要考点。这类题目往往旨在考查学生对数字的敏感程度以及对图形特征的把握能力。下面就让我们通过几道具体的题目来体会一下这种题目解答的一般思路。
例1
填表
file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-18171.png
题号
第①个数
第②个数
第③个数
第④个数
第file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-4242.png个数
3
4
5
6
-3
-2
-1
0
4
7
10
13
3/2
2
5/2
3
1
2
4
8
3
9
27
81
1
3
7
15
分析并解答:
⑴中,相邻两数的差都是1(4-3=1,5-4=1,6-5=1),这与它们序数(为了叙述的方便,我们姑且将每个数所在数列的排位称作序数)的规律完全一致(②-①=1,③-② =1,④-③ =1);所以我们只要找到每一个数与它的序数的共同关系就可以了。显然,这一列数所体现出的共同规律为序数+2。于是,第file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-8154.png个数应是file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-19400.png+2。
⑵分析略,答案为,file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-8417.png-4。
⑶中,相邻两个数的差都是3,这个3也是相邻两数序数之差的3倍,因此每个数一定与它序数的3倍有关。显然,4=①×3+1,7=②×3+1,10=③×3+1……即这一列数所体现的共同规律为序数×3+1。于是,第file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-10592.png个数应是3file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-25848.png+1。
⑷分析略,答案为, file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-10053.png+1。
⑸中,相邻两个数的差并不是一个定值,但它们的商却是一个定值(2÷1=1,4÷2=2,8÷4=2),也就是说每一个数都是它前面数字的2倍,因此这一列数所体现出来的规律应该与2的乘方有关。显然,1=20,2=21,4=22……于是,第file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-16783.png个数应是file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-19922.png。
⑹分析略,答案为,file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-23446.png。
⑺中,相邻两个数的差与商都不是一个定值,但若将每个数都加上1,则相邻两个数的商(4÷2=2,8÷4=2,16÷8=2……)便是一个定值;再结合⑸的分析,我们便不难得出,第file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-3789.png个数应是file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-17169.png-1。
例2
如图,有file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-21048.png个正方形整齐地排成一列,且右边的正方形的边长是其紧邻左边正方形边长的2倍。如果A点的坐标记作(0,1),则第file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-8155.png个正方形左上角顶点的坐标是什么?
file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-2270.png
分析并解答:
由A点的坐标(0,1),我们不难写出B、C两点的坐标,即B(1,2),C(3,4)。也许至此你还没有发现什么规律,不要紧,我们不妨再写出与C紧邻的下一点的坐标(7,8)。显然每一点的纵横坐标的差为1,也就是说我们只要知道了各点横坐标的变化规律或是知道了纵坐标变化的规律就可以了。就以横坐标为例吧。这列横坐标依次是0,1,3,7……显然相邻两数的差和商都不是一个定值,不过只要都给它们加上1,其商便是定值2了。于是,参照上面第1题⑺的分析,我们便可以得出结论,第file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-20099.png个正方形左上角顶点的横坐标为file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-22583.png-1,而该点的坐标为(file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-21796.png-1,file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-21100.png)。
例3
下面是几个用火柴拼就的图形。第file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-30677.png个图形由多少根火柴拼成?
   file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-904.png
分析并解答:
通常情况下,解答这类与图形有关的题目,当然也包括上面的第2题,采用前面介绍的方法,将每一个图形对应的所要研究的数值逐一列出来,然后再通过观察找出其中的规律固然是一种较为有效的方法;不过,通过对图形特点进行分析来得出结论也是个不错的选择。
拿本题来说吧。乍一看,我们容易得出这样的结论,第1个图形有1个正方形,第2个图形有2个正方形,第3个图形有3个正方形……这当然是对的,不过第1个图形的正方形由4根火柴围成,但第2个图形的2个正方形却并不是由2×4根火柴围成,更不要说第3个图形了。所以说,上面我们所发现的规律还不够彻底,必须努力让构成每一个图形所需的火柴数与其序数都存在着一个共同的规律。其实,我们可以换个思路把每个图形都分解开来看嘛。比如,就将每个图形最左边的一根分离出来,这样,第1个图形还有1个file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-12699.png,第2个图形还有2个file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-9489.png,第3个图形还有3个file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-15887.png……再比如,把每个图形分为呈水平方向的火柴和呈竖直方向的火柴,等等。总之,第file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-5032.png个图形由3file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-276.png+1根火柴拼成。
例4
下面给出的由圆点摆成的正六边形是有规律地排列的,仔细观察前面的三个,请问第file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-15964.png个正六边形由多少个圆点摆成?
file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-17741.png      
分析:
通过计数你会发现,上面的图一由7个点摆成,图二由19个点摆成,图三由37个点摆成,可采用前面例1所述的思路,要想找出7、19、37之间所蕴藏的规律却又是难上加难。于是,我们不禁会想到从图形的特点入手这一永恒的法宝。
仔细观察我们不难发现,上面的图形都可以看作以中间横线为对称轴的对称图形。也就是说,每个图形都可以看成,对称轴的上面、对称轴、对称轴的下面等三部分。这样,图一的对称轴有3个点,图二的对称轴有5个点,图三的对称轴有7个点……其规律不言而喻。而其对称轴的任意一侧,图一有1条线段,图二有2条线段,图三有3条线段,且其中最短的线段或唯一的线段分别有2个点、3个点、4个点……至此,这道题目的答案也就有了:
第file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-17872.png个图形,
对称轴点数,file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-20277.png
对称轴上方点数,file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-29035.png,即,file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-29191.png
对称轴下方点数,file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-4903.png
    点的总数,file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-31962.png=file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-30396.png
例5
观察下列各式,
file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-18838.png
file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-7991.png
file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-17591.png    ……
请将发现的规律用含自然数file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-27293.png的等式表示出来。
分析并解答:
虽然同为找规律类题目,但本讲的前面4道题和后面的这3道题在解答思路上没有丝毫的相同之处。就拿本题来说吧。只要我们注意观察第一个算式左右两边的不同与相同之处,并且找出其联系,然后再将这一结论用后面的算式加以印证就可以了。上面的第一个算式,它的左边为一根式,并且其被开方数为一个整数和一个分数和的形式;它的右边也是一个根式,不过这个根式还有一个系数,并且这个系数正好比左边的整数大1,而其被开方数与左边的分数完全相同。有了这样结论,我们还要用下面的算式再加以印证,如果发现有什么不妥之处,也好及时予以修正,比如前面我们说“右边也是一个根式,不过这个根式还有一个系数,并且这个系数正好比左边的整数大1”,假若我们当时将其看成“右边也是一个根式,不过这个根式还有一个系数,并且这个系数正好是左边的整数的2倍”,显然这对于第一个算式也是对的,但该结论对其它算式就不成立了。有了上面的观察与印证,接下来就该写结论了。写这类问题结论的窍门便是将所有算式变化的数中的最下的一个看作file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-18174.png。
综上,其规律为:file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-14991.png =file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-26018.png
例6
观察下列各式,
97×103=1002-32
96×104=1002-42
95×105=1002-52       ……
请将发现的规律用含自然数file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-10695.png的等式表示出来。
分析并解答:
显然每个算式的右边都有一个不变的“1002”和某一个定数的平方,而每个算式左边的两个数则都围绕着“1002”和这个定数在变;因此我们可以把这个定数视为“file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-18732.png”。于是,其规律为:(100-file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-13230.png)(100+file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-13705.png)=1002-file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-22921.png2
练习
1、下图都是由一些点围成的小房子。第file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-26565.png座房子由多少个点围成?
file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-10634.png
2、观察下列各式,
file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-19775.png
file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-23490.png
file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-25928.png    ……
请将发现的规律用含自然数file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-948.png的等式表示出来。
3、观察下列各式,
999×1001=10002-12
998×1002=10002-22
997×1003=10002-32       ……
请将发现的规律用含自然数file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-10472.png的等式表示出来。
附:答案
1、第file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-25493.png座房子由(6file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-29088.png-1)个点围成。
2、file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-5756.png= file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-24414.png
(1000-file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-12553.png)(1000+file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-32516.png)=10002-file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-13390.png2

 楼主| 发表于 2013-11-21 12:32:16 | 显示全部楼层
4  勾股定理之一
——巧设未知数
1、在Rt△ABC中,AC=20cm AB:BC=3:4。求AB和BC的 长。
file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-18576.png
分析:在已知AB与BC的比的情况下,我们当然可以假设AB为file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-26325.png,并由此用file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-27855.png表示出另一边BC——file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-21363.png;也可以假设BC为file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-9473.png,并由此用file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-4697.png表示出另一边AB——file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-3320.png。其实,假若我们对于比的意义认识稍微深刻一点,AB:BC=3:4,也就意味着AB每有3份,BC便有4份,因而我们也完全可以将其中的1份设为file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-23314.png,即AB为3file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-25874.png,BC为4file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-8086.png。这样计算中便可以避免易于出错的分数运算了。
解:设AB为3file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-1582.pngcm,BC为4file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-28908.pngcm。根据题意,得,
(3file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-29266.png)2+(4file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-4530.png)2=202
解得,file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-20364.png=4
即,3file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-28158.png=12(cm),4file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-18133.png=16(cm)
答:AB和BC的长分别是12cm,16cm。
其实,对于这类已知其中三角形一边长度以及其余两边的比而要求各边长度的题目,也是可以采用算术法的。其具体思路是,AB:BC=3:4file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-11066.pngAB2:BC2=32:42=9:16然后再对AC2即400进行按比例分配即可。
解:
∵AB:BC=3:4
∴AB2:BC2=32:42=9:16
又∵AC2=400
即,AB2+BC2=400
∴AB2=400×file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-20216.png=144
  BC2=400×file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-22503.png=256
即,AB=file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-27599.png=12(cm)
    BC=file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-17002.png=16(cm)
file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-27734.png2、铁路上A、B两站相距25km,C、D为两个村庄,且DA⊥AB,CB⊥AB,AD=15km, BC=10km。今欲将A、B两站合并迁至他们中间的某点E处,并且要求E与C、D等距。
求这个距离。
分析:
本题要求的距离乃是直角三角形斜边的长度,显然我们只能运用勾股定理来求解。由于勾股定理所研究的是三边的平方的关系,所以通常我们还需要借助方程。一般来说,我们最先会想到便是假设这个距离为file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-30541.png,并由此得到如下的方程file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-18017.png+ file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-10920.png=25。稍作尝试你会发现这个方程虽然也只是含有一个未知数,但它却并不易于解答。至此,或许有同学会觉得我们的这一思路有问题,并改弦易辙去想别的办法。其实,我们运用勾股定理并通过方程来求解的思路丝毫没有问题,既然假设要问的这个距离为file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-25851.png不方便求解,我们为什么不尝试一下其它的设未知数的方法呢?比如不再假设作为直角三角形斜边的DE或EC为file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-11645.png,而是改设作为直角边的AE或BE为file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-9907.png。尝试过后,相信你一会有一种豁然开朗的感觉。
解:设AE为file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-22353.pngkm,则BE为(25-file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-29541.png)km。根据题意,得,
file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-19793.png=file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-19779.png
即,152+file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-7096.png2=102+(25-file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-7977.png)2
解得,file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-31575.png=10
即,DE=file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-23165.png=file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-11372.png(km)
file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-22831.png答:这个距离为file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-23691.pngkm。
3、如图,在一棵树AC的10米高的B处有两只猴子,其中一只爬下树走向离树20米的池塘D,而另一只爬到树顶后沿滑索滑向池塘,并且两只猴子经过的路程相等。这棵树有多高?
         
分析:
要求树的高度,也就是要求Rt△ACD的直角边AC的长。对于这一问题的求解,显然需通过勾股定理并借助方程,因此我们容易想到将AC设为file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-17850.png。不过,在将AC设为file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-18454.png后,要把DC用含有未知数的式子表示出来就不太方便了【当然也可以:DC=10+20-BC=30-(AC-AB)=30-(file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-53.png-10)】。由于对于AC来说,其中的AB的长度已知,所以我们不妨设其中的另一部分BC的长度为file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-28526.png。
解:设BC为file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-7027.png米,则AC=(10+file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-10500.png)米,DC=(10+20-file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-3937.png)米。根据题意,得,
202+(10+file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-9038.png)2=(10+20-file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-30192.png)2
解得,file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-26750.png=5
即,AC=10+5=15(米)
答:这棵树高15米。
4、矩形纸张ABCD中,AB=3cm。按如图所示方式折叠得到菱形AECF。
file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-20587.png    求CE的长。
分析:
通常我们会假设所要求取的CE为file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-7438.png,并进而通过勾股定理列方程来求解。假若设CE为file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-8274.png,显然CE是Rt△CBE的一条边,由于Rt△CBE的另外两条边也不知道,所以对于Rt△CBE运用勾股定理并不能求出file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-14248.png,充其量也就能将BC表示为file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-14386.png(之所以要表示BC,是因为我们看到BC除了是Rt△CBE的一条边,它还可以看作Rt△ABC的一条边),在此基础上再对Rt△ABC运用勾股定理,方能求出file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-9508.png,不过因为BC=file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-3086.png,AC=2file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-18579.png,所以在运用勾股定理时运算会显得有些麻烦并容易出错。
其实,考虑到CE是Rt△CBE的一条边,显然我们只要求出BC,问题也就迎刃而解了。而要求BC,通过Rt△ABC是很容易办到的。
解:由折叠的性质知,
BC=OC
∴在菱形AECF中,AC=2OC=2BC
设BC为file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-4305.pngcm,根据题意得,
(2file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-12951.png)2-file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-12658.png2=32
解得,file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-19787.png=file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-8624.png
再设CE的长为file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-6432.pngcm,根据题意得,
(3-file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-20387.png)2+(file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-9618.png)2=file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-1938.png2
解得,file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\ksohtml\wps_clip_image-1434.png=2
答:CE的长为2cm。

 楼主| 发表于 2013-11-23 07:43:48 | 显示全部楼层
本帖最后由 国史通览 于 2013-11-23 07:45 编辑

 楼主| 发表于 2013-11-23 07:45:56 | 显示全部楼层
不能正常显示,对不住啦
发表于 2013-12-7 18:20:09 | 显示全部楼层
要是看到图就更直观了。
 楼主| 发表于 2013-12-8 06:09:22 | 显示全部楼层
没关系的,过一会将书稿给你发过去,若何?
 楼主| 发表于 2014-6-19 09:41:15 | 显示全部楼层
谢谢各位看客,
发表于 2014-6-21 08:08:25 | 显示全部楼层
国史通览 发表于 2013-11-19 14:44
3  一题多解体会代数思维与几何思维的异同    例1    如图1所示,△ABC中,AB=24,AC=25,BC=7,P是△ABC内 ...

没有图片啊,想办法上图就好了。
 楼主| 发表于 2014-6-21 08:54:02 | 显示全部楼层
被包围的鱼 发表于 2014-6-21 08:08
没有图片啊,想办法上图就好了。

不会啊  。
发表于 2014-6-21 19:23:19 | 显示全部楼层
国史通览 发表于 2014-6-21 08:54
不会啊  。

哦,这个好像是稍微麻烦。
发表于 2014-9-27 08:36:58 | 显示全部楼层
发表于 2014-12-19 19:04:41 | 显示全部楼层
发表于 2014-12-20 12:35:52 | 显示全部楼层
额 数学。。。
默默的顶一个
发表于 2014-12-20 19:26:46 | 显示全部楼层
差不多已经还给老师了
 楼主| 发表于 2014-12-23 16:30:44 | 显示全部楼层
林泠烟 发表于 2014-12-20 19:26
差不多已经还给老师了

谢谢啊!
 楼主| 发表于 2014-12-23 16:31:19 | 显示全部楼层
牧雨辰歌 发表于 2014-12-20 12:35
额 数学。。。
默默的顶一个

感谢支持!
发表于 2014-12-23 18:37:54 | 显示全部楼层
国史通览 发表于 2014-12-23 16:31
感谢支持!

呃  好像不小心自爆短板了哇
改天好好读读 试试重温一下
发表于 2014-12-31 11:47:25 | 显示全部楼层
国史老师,你太有才了。
 楼主| 发表于 2014-12-31 16:36:14 | 显示全部楼层
哈哈,谬夸了,小老儿只不过略有点专注罢了。
发表于 2015-1-1 11:21:44 | 显示全部楼层
今天和另一个教育投稿对比了一下,您这个稿子排版是差了点,呵呵,但是解题思路很完整,配上图就完美了。
 楼主| 发表于 2015-1-2 10:29:21 | 显示全部楼层
被包围的鱼 发表于 2015-1-1 11:21
今天和另一个教育投稿对比了一下,您这个稿子排版是差了点,呵呵,但是解题思路很完整,配上图就完美了。

谢谢指教!有时间我会改一下的。祝好!
发表于 2015-1-6 19:35:36 | 显示全部楼层
封面挺美的,明年我女儿上七年级了,我估计可以上亲售城换你的书了。
 楼主| 发表于 2015-1-7 16:00:21 | 显示全部楼层
简媛 发表于 2015-1-6 19:35
封面挺美的,明年我女儿上七年级了,我估计可以上亲售城换你的书了。

可以先感谢着吗?嘿嘿。
发表于 2015-1-8 08:03:17 | 显示全部楼层
排版还要完善。
 楼主| 发表于 2015-1-8 09:00:13 | 显示全部楼层
简媛 发表于 2015-1-8 08:03
排版还要完善。

是的。谢谢教导。
发表于 2015-1-8 09:54:54 | 显示全部楼层
呵呵,老师,老师,不要这么客气啊。
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